Ο Αρχιμήδης και οι κωνικές τομές

N. Λυγερός

Μέσω του Απολλώνιου εξετάζουμε τις κωνικές τομές μέσα σ’ ένα ενιαίο πλαίσιο. Ο διπλός κώνος παράγει τον κύκλο, την παραβολή, την έλλειψη και την υπερβολή. Αυτή η γεωμετρική προσέγγιση δίνει την εντύπωση ότι αυτές οι τομές είναι όλες του ιδίου τύπου. Βέβαια μέσω των εξισώσεων της ανάλυσης αντιλαμβανόμαστε ότι υπάρχουν σχέσεις. Η έλλειψη είναι η άμεση γενίκευση του κύκλου.
Η υπερβολή έχει μια ανάλογη εξίσωση για την έλλειψη, μέσω της αλλαγής του προσήμου. Ενώ η παραβολή παρουσιάζει μια ιδιαιτερότητα. Αυτό σημαίνει ότι η ακραία γωνία της δεν έχει διαφορά μόνον όσον αφορά στη διπλή τομή. Ένας τρόπος όμως να αντιληφθούμε την ουσιαστική διαφορά, είναι το αποτέλεσμα της έρευνας του Αρχιμήδη, όσον αφορά στον τετραγωνισμό της παραβολής. Ενώ απέφυγε νοητικά να πέσει στην παγίδα του κύκλου, ο Αρχιμήδης δίχως τη σύγχρονη βοήθεια του απειροστικού λογισμού κατάφερε και μάλιστα με κομψό τρόπο να αποδείξει ότι η παραβολή τετραγωνίζεται. Αυτό είναι πλέον κατανοητό, λόγω του ολοκληρώματος της συνάρτησης της παραβολής, ενώ το ανάλογο με την υπερβολή απαιτεί τη χρήση του λογάριθμου που εφευρέθηκε από τον Neper αιώνες μετά. Ένα άλλο αποτέλεσμα διαφοροποίησης των στοιχείων της οικογένειας των κωνικών τομών, είναι το πρόβλημα της περιμέτρου και η ιδιομορφία της έλλειψης, που ανέδειξαν μαθηματικοί, όπως ο Ramanujan και ο Abel και αυτοί αιώνες μετά. Στην πραγματικότητα, με αυτές τις ενδείξεις αντιλαμβανόμαστε ότι ο Αρχιμήδης άνοιξε τον δρόμο της διαφοροποίησης σ’ έναν τομέα όπου, φαινομενικά, υπήρχε μια ομάδα. Η κατανόησή του αυτού του φαινομένου ήταν μια αληθινή επινόηση, διότι σκέφτηκε ότι το πρόβλημα ήταν επιλύσημο και το έλυσε, ενώ η προσέγγισή του για τον τετραγωνισμό του κύκλου ήταν ριζικά διαφορετική. Αυτό είναι και ένα χαρακτηριστικό της μαθηματικής του ιδιοφυίας που τον κάνει ξεχωριστό, σε σχέση με τους άλλους μαθηματικούς της αρχαιότητας. Δεν ήταν απλώς ένας λύτης, αλλά και ένας εφευρέτης προβλημάτων, τα οποία δεν ήταν μόνο ουτοπικά για την εποχή του και τις επόμενες, αλλά αδιανόητα. Η προσέγγισή του δεν ήταν καν άμεσα κατανοητή από τους ειδικούς, όπως το αποδεικνύει η σχολή της Αλεξανδρειας. Το έργο του δεν ήταν άγνωστο βέβαια, αλλά δεν μπόρεσαν να διεισδύσουν στο βάθος και να το ξεπεράσουν. Έπρεπε περιμένουμε τον κινέζο μαθηματικό Liu Hiu για να δούμε, παραδείγματος χάριν, αιώνες μετά, την καλυτέρευση της προσέγγισης αριθμού π, μέσω μιας ανάλογης μεθόδου, αλλά με τη χρήση των εμβαδών και βέβαια της έννοιας των ψηφίων του δεκαδικού συστήματος. Έτσι και με τις κωνικές τομές, η καινοτομία του Αρχιμήδη αποτέλεσε τομή πολύ αργότερα.


http://www.lygeros.org/lygeros/6510-gr.html