Ο Καραθεοδωρή μέσα στα Στοιχεία του Bourbaki

Ν. Λυγερός

Στη Γαλλία, γνωρίζουμε καλά το ύφος που αναπτύχθηκε από τον πολυκέφαλο συγγραφέα Bourbaki στο μεγάλο του έργο, τα Στοιχεία των Μαθηματικών. Έχοντας υπόψη αυτό το πλαίσιο, μπορούμε να αποδώσουμε την πρέπουσα αξία στην παρουσία του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή στις αναφορές του. Επιπλέον, καθώς το έργο του Nicolas Bourbaki παραμένει προς το παρόν ατέλειωτο, δεν θα μας εξέπληττε εάν στη συνέχεια παρουσιάζονταν επιπρόσθετες αναφορές ειδικά στον τομέα του λογισμού μεταβολών.
Παρ’ όλα αυτά, πρέπει να διευκρινίσουμε ότι ο Καραθεοδωρή ήταν ο πρόεδρος της επιτροπής για το Βραβείο Fields το 1936 στο Όσλο, στην οποία μετείχε ο Elie Cartan, ο πατέρας του Henri Cartan, ο οποίος ήταν ιδρυτικό μέλος της ομάδας Bourbaki. Και ήταν επίσης ο κύριος ομιλητής στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Ζυρίχη το 1932. Έτσι δεν ήταν άγνωστος στην ομάδα. Από την άλλη πλευρά, δεν πρέπει να ξεχνούμε ότι θεωρείτο Γερμανός μαθηματικός, αν και οι μητρικές του γλώσσες ήταν τα γαλλικά και τα ελληνικά. Αλλά ο Καραθεοδωρή ήταν στη γραμμή του David Hilbert, γεγονός που δεν μπορούσε παρά να ευαρεστήσει τον Bourbaki. Με αυτές τις πηγές που αντιφάσκουν, θέλουμε να δείξουμε τη σχετική ουδετερότητα όσον αφορά στην παρουσία του Καραθεοδωρή μέσα στα Στοιχεία των Μαθηματικών. Η πρώτη αναφορά βρίσκεται στο χώρο της τοπολογίας. Το υπόβαθρο συνίσταται στις ιδέες του Cantor, στις ιδέες του Riemann και στο φορμαλισμό του Hilbert στην παρουσίαση της ύπαρξης ελαχίστου στην αρχή του Dirichlet που εισήγαγε τη μέθοδο στο λογισμό μεταβολών.

«[..] βλέπαμε να εκδηλώνεται ξεκάθαρα το ενδιαφέρον που υπήρχε να θεωρηθούν τα σύνολα των συναρτήσεων όπου ίσχυε η αρχή του Bolzano Weierstrass [...] τέτοια σύνολα έπρεπε, στην πραγματικότητα, να παίξουν σύντομα σημαντικό ρόλο όχι μόνο στο λογισμό μεταβολών, αλλά στη θεωρία συναρτήσεων της πραγματικής μεταβλητής (Ascoli, Arzela) και στη θεωρία συναρτήσεων των μιγαδικών μεταβλητών (Vitali, Carathéodory, Montel).»

Όμως, οι σημαντικότερες αναφορές βρίσκονται στον τομέα των ολοκληρωμάτων. Το έργο του Καραθεοδωρή αναδεικνύεται μέσω της γενικής θεωρίας ολοκληρωμάτων.

«Εν τούτοις, παρέμενε να δημοσιοποιηθεί η καινούργια θεωρία για να γίνει μαθηματικό εργαλείο τρέχουσας χρήσης, ενώ η πλειονότητα των μαθηματικών, γύρω στο 1910, το μόνο που έβλεπαν στο ολοκλήρωμα του Lebesgue ήταν ένα εργαλείο μεγάλης ακρίβειας, ντελικάτης χρήσης, προορισμένο μόνο για έρευνες υψηλής ευφυΐας και υπερβολικής αφαιρετικότητας. Εδώ παρουσιάστηκε το έργο του Καραθεοδωρή, σ’ ένα βιβλίο που για μεγάλο χρονικό διάστημα θεωρείτο κλασικό και το οποίο επιπρόσθετα πλούτισε τη θεωρία του Radon με πολλές πρωτοποριακές παρατηρήσεις.»

Ενώ το πλαίσιο είναι δύσκολο από την άποψη της μαθηματικής κοινότητας, ο Καραθεοδωρή κατορθώνει να καταστήσει αποτελεσματικό ένα εργαλείο όμορφο, βέβαια, αλλά θεωρητικό. Το βιβλίο που αναφέρει ο Bourbaki έχει τίτλο Vorlesungen ûber reelle Funktionenκαι εκδόθηκε το 1918. Η κριτική του Bourbaki είναι εξαιρετικά εγκωμιαστική όσον αφορά στο έργο του Καραθεοδωρή. Πρέπει να πούμε ότι αυτό το έργο εισάγει την έννοια της πληρότητας, μιας ιδέας για την οποία ο Bourbaki δεν μπορούσε να μείνει ασυγκίνητος. Όμως, υπάρχει ένα σημείο ακόμα πιο σημαντικό, όπως το διαπιστώνουμε στο ακόλουθο σχόλιο.

«Αλλά είναι επίσης με αυτό το βιβλίο που η έννοια του ολοκληρώματος, η οποία ήταν το κύριο θέμα της έρευνας του Lebesgue (όπως το παρουσιάζουν επαρκώς οι τίτλοι της διατριβής του και του κύριου έργου του επί των θεμάτων αυτών) αφήνει το προβάδισμα για πρώτη φορά στην έννοια του μέτρου, που κατά τον Lebesgue (όπως και πριν από αυτόν, κατά τον Jordan) ήταν ένα καταλυτικό τεχνικό μέσο. Αυτή η αλλαγή θεώρησης οφειλόταν χωρίς αμφιβολία, σύμφωνα με τον Καραθεοδωρή, στην υπερβολική σημασία που φαίνεται ότι έχει αποδοθεί στα «μέτρα p-διαστάσεων».

Εδώ, βρισκόμαστε στο αρχικό στάδιο μια πολεμικής απόλυτα αποκαλυπτικής για εκείνη την εποχή. Το ενδιαφέρον για μας, με τα σημερινά δεδομένα, είναι ότι ο Bourbaki μπαίνει σ’ ένα πλαίσιο που τον διευκολύνει να ασκήσει κριτική ενώ μελετά το ζήτημα a posteriori. Μόνο που η μαθηματική έρευνα δεν σταμάτησε σε εκείνη την εποχή και τα επιχειρήματά του έχασαν την ισχύ τους. Στην πραγματικότητα, το σημείο για το οποίο ασκεί κριτική, σύμφωνα με τον Καραθεοδωρή, είναι ακριβώς εκείνο που στη συνέχεια δημιούργησε το μέτρο Hausdorff το οποίο αποτελεί τα θεμέλια για τις θεωρίες των μορφοκλασματικών συναρτήσεων, των κυματοσυναρτήσεων και των πολυμορφοκλασματικών συναρτήσεων. Ο Bourbaki εντείνει την κριτική του με την εξής σημείωση.

«Εδώ πρόκειται για γενίκευση της έννοιας του «μήκους μιας επίπεδης καμπύλης» για οποιεσδήποτε αξίες n και p της διάστασης του περιβάλλοντος χώρου και της διάστασης του χώρου υπό μελέτη· υποθέτουμε, βέβαια, ότι έχουμε 0≤p≤n, αλλά δεν υποθέτουμε πάντα ότι το p είναι ακέραιος. Αυτό το ερώτημα αποτελεί αντικείμενο ερευνών από πολλούς συναδέλφους μετά από τους Minkowski, Καραθεοδωρή και Hausdorff. Ο ίδιος ο Lebesgue, πλαισιώνοντας ειδικές περιπτώσεις στη διατριβή του, δεν φαίνεται να είχε δει κάτι άλλο παρά μια περίπτωση που περιέλαβε στη διατριβή για τη δύναμη των εργαλείων που μόλις είχε επινοήσει.»

Στην πραγματικότητα, εάν πρόκειται να ασκηθεί κριτική, πρέπει να ασκηθεί εναντίον του Lebesgue ο οποίος συμπεριφέρθηκε όπως ο Max Planck όσον αφορά στη σταθερά του. Η νέα τάση, την οποία ο Καραθεοδωρή εγκωμίασε έθετε ένα ιδιαίτερα ισχυρό πλαίσιο. Οι μελέτες του Julia και του Fatou ακολουθούν την ίδια ιδέα. Και γνωρίζουμε πόσο αυτή η ιδέα εμπλουτίστηκε στη συνέχεια από τον Mandelbrot. Παρ’ όλα αυτά, ο Bourbaki συνεχίζει ως εξής:

«Από τότε, οι συγγραφείς που ασχολήθηκαν με τα ολοκληρώματα χωρίστηκαν σε αυτά τα δύο ρεύματα και ξεκίνησε μια σειρά αντιπαραθέσεων με αποτέλεσμα να χυθεί πολύ μελάνι αν όχι πολύ αίμα. Το ένα ρεύμα ακολούθησε τον Καραθεοδωρή· στις εκθέσεις τους που ήταν ολοένα και πιο αφαιρετικές και αξιωματικοποιημένες, το μέτρο, με όλους τους τεχνικούς υπολογισμούς με τους οποίους λειτουργούσε, όχι μόνο παίζει τον κυρίαρχο ρόλο, αλλά τείνει να προσεγγίσει τοπολογικές δομές με τις οποίες συνδέεται στα περισσότερα προβλήματα όπου δεν υπεισέρχεται.»

Ο Bourbaki δεν υποψιάζεται ότι το πρώτο μέρος της κριτικής του, δηλαδή το εγκώμιό του, μπορεί να αποδοθεί και στο δεύτερο μέρος. Διότι για να τεθεί υπό αμφισβήτηση η άποψη του, ήταν αρκετό κάποιοι ερευνητές όπως ο Mandelbrot να δημοσιοποιήσουν με τη σειρά τους αυτή την πολύ τυπική προσέγγιση για να τη μετατρέψουν σε ένα αποτελεσματικό μαθηματικό εργαλείο και όχι μόνο σε καθαρά μαθηματικά. Θα εξέπληττε τον Bourbaki –αναφερόμαστε στον Bourbaki της εποχής εκείνης, αν αυτή η έκφραση έχει νόημα– να έβλεπε πόσες εφαρμογές έχουμε σήμερα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, στη φυσική, στη χημεία, ακόμα και στη βιολογία, που όλες προέρχονται από αυτή την αλλαγή θεώρησης. Με άλλα λόγια, η αξία του Καραθεοδωρή είναι αμφιλεγόμενη μέσα στον Bourbaki, αλλά είναι πραγματική.

http://www.lygeros.org/2280-gr.html