Η συμβολή του Καραθεοδωρή στη στατιστική μηχανική

Ν. Λυγερός
Μετά από το έργο του Prigogine για τη φυσική μακράν της ισορροπίας μπορούμε να κατανοήσουμε πραγματικά τη στρατηγική που επινόησε ο Καραθεοδωρή το 1919.
Πιο συγκεκριμένα ο Καραθεοδωρή ήταν ειδικός της θεωρίας μέτρου όπως το αποδεικνύει και ένα από τα θεωρήματά του που είναι πλέον κλασικό στη θεωρία.

Θεώρημα : Έστω φ ένα εξωτερικό μέτρο στο Χ. Τότε η Μφ, η οικογένεια όλων των φ-μετρήσιμων υποσυνόλων του Χ, είναι σ-άλγεβρα στο Χ και ο περιορισμός φ|Μφ του φ στη Μφ είναι πλήρες μέτρο.
Επιπλέον οι έννοιες του εξωτερικού μέτρου και του μετρήσιμου συνόλου ως προς ένα εξωτερικό μέτρο είναι δικές του. Συνεπώς όταν έγραφε το ριζοσπαστικό του άρθρο το 1919 ( Sitz . Preuss . Akad . Wiss . Phys . Math . 580-584) το υπόβαθρό του είναι διαφορετικό από τον κλασικό ερευνητή της στατιστικής μηχανικής. Το πλαίσιο των διαφορικών εξισώσεων και της τοπολογικής δυναμικής δεν επαρκούσε. Δεν ήταν ο μόνος που το ήξερε αλλά ήταν ο πρώτος που βρήκε την εναλλακτική λύση, η οποία ήταν η θεωρία μέτρου. Με αυτήν τη νέα μεθοδολογία ολοκλήρωσε την απόδειξη του θεωρήματος της Αναδρομής του Poincare .

Θεώρημα : Οι δυναμικοί μετασχηματισμοί του χώρου φάσης που διατηρούν τον όγκο έχουν την ιδιότητα ότι σχεδόν όλα τα σημεία (εκτός από κάποια υποσύνολα μηδενικού όγκου) μιας περιοχής θετικού όγκου θα επιστρέψουν στην περιοχή μετά από πεπερασμένο χρόνο.

Δεν ήταν απλώς μια νέα απόδειξη αλλά ένα καθοριστικό άνοιγμα. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο ήταν πια λογικό να αντιμετωπισθεί η στατιστική μηχανική μέσω της θεωρίας Μέτρου και της συναρτησιακής ανάλυσης. Διότι όπως το επισήμαναν οι Birkhoff και Koopman ήταν η πρώτη εισχώρηση της θεωρίας των πραγματικών μεταβλητών στη δυναμική.

Συνεπώς η συμβολή του Καραθεοδωρή δεν είναι απλώς μαθηματική αλλά και στρατηγική στη στατιστική μηχανική. Και είναι με αυτό το άνοιγμα που εκ των υστέρων επέτρεψε μετά την κατάργηση των χώρων Hilbert , την εισαγωγή της φασματικής ανάλυσης και τον τελεστή του χρόνου. Αυτά είναι τα κυριότερα εργαλεία που χρησιμοποίησε ο Prigogine για να επινοήσει την αύξηση της άλγεβρας των παρατηρήσιμων μεγεθών καθώς παράγεται νέα πληροφορία. Έτσι η φυσική μακράν της ισορροπίας χρωστάει μια διακλάδωση στο ριζοσπαστικό άνοιγμα του Καραθεοδωρή. Και είναι μέσα στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας που μπορούμε να αξιοποιήσουμε πραγματικά την αποτελεσματικότητά της.


http://www.lygeros.org/1133-gr.html