Deep Mind: Η τεχνητή νοημοσύνη απέδειξε θεώρημα που απασχολεί τους μαθηματικούς εδώ και 40 χρόνια

Στα «καθαρά» μαθηματικά, οι μαθηματικοί αναζητούν μοτίβα στους αριθμούς και στη συνέχεια προσπαθούν να αποδείξουν αν οι εικασίες τους αντιπροσωπεύουν πραγματικές σχέσεις via pixabay.com

Το πρόγραμμα τεχνητής νοημοσύνης (AI) της DeepMind, της θυγατρικής εταιρείας της Google, έφτασε ένα βήμα πιο κοντά στην απόδειξη μιας μαθηματικής εικασίας που απασχολεί τους μαθηματικούς εδώ και δεκαετίες, ενώ ταυτόχρονα αποκάλυψε ένα νέο θεώρημα που μπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση των κόμβων.

Οι δύο μαθηματικές εικασίες είναι οι πρώτες σημαντικές εξελίξεις στα «καθαρά» μαθηματικά (ή στα μαθηματικά που δεν συνδέονται άμεσα με κάποια μη μαθηματική εφαρμογή) που δημιουργούνται για πρώτη φορά από την τεχνητή νοημοσύνη, ανέφεραν οι ερευνητές σε άρθρο τους στο περιοδικό «Nature».

Οι εικασίες είναι μαθηματικά συμπεράσματα που φαίνεται να είναι σωστά με βάση κάποια ελλιπή στοιχεία, αλλά δεν έχουν αποδειχθεί ακόμη. Στο παρελθόν έχουν χρησιμοποιηθεί αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης για τη δημιουργία τέτοιων θεωρητικών ιδεών στα μαθηματικά, αλλά μέχρι στιγμής αυτοί οι αλγόριθμοι έχουν αντιμετωπίσει προβλήματα μικρότερα από αυτά που έπρεπε να λύσει η DeepMind.

«Αυτό που δεν έχει συμβεί στο παρελθόν είναι η χρήση της μηχανικής μάθησης για την ανακάλυψη νέων εικασιών στα καθαρά μαθηματικά», δήλωσε ο Άλεξ Ντέιβις, ειδικός στη μηχανική μάθηση στην DeepMind και ένας από τους συγγραφείς της νέας δημοσίευσης.

Μαθηματικά και μηχανική μάθηση

Στα «καθαρά» μαθηματικά, οι μαθηματικοί αναζητούν μοτίβα στους αριθμούς και στη συνέχεια προσπαθούν να αποδείξουν αν οι εικασίες τους αντιπροσωπεύουν πραγματικές σχέσεις. Αυτό μπορεί να γίνει αρκετά πολύπλοκο όταν δουλεύει κανείς με περίπλοκες εξισώσεις σε πολλές διαστάσεις.

«Ωστόσο, η μηχανική μάθηση είναι πολύ καλή στο να εντοπίζει μοτίβα», δήλωσε ο Ντέιβις στο Live Science.

Ο Ντέιβις και οι συνάδελφοί του στην DeepMind συνεργάστηκαν με τους μαθηματικούς Τζόρντι Γουίλιαμσον του Πανεπιστημίου του Σίδνεϊ και Μαρκ Λάκενμπι και Αντράς Χουχάς του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, για να καθορίσουν ποια προβλήματα θα μπορούσε να λύσει η τεχνητή νοημοσύνη.

Επικεντρώθηκαν σε δύο πεδία: τη θεωρία κόμβων, η οποία είναι η μαθηματική μελέτη των κόμβων- και τη θεωρία αναπαραστάσεων, η οποία επικεντρώνεται σε αφηρημένες αλγεβρικές δομές, όπως δακτύλιοι και πλέγματα, και συσχετίζει αυτές τις αφηρημένες δομές με γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις.
Δυσνόητα προβλήματα

Για την κατανόηση των κόμβων, οι μαθηματικοί βασίζονται σε κάτι που ονομάζεται «αναλλοίωτες», οι οποίες είναι αλγεβρικές, γεωμετρικές ή αριθμητικές «ποσότητες» που παραμένουν σταθερές όταν υπολογίζονται για διαφορετικές περιγραφές ενός κόμβου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ερευνητές εξέτασαν τις αναλλοίωτες που ήταν ίδιες σε ισοδύναμους κόμβους. Δύο κόμβοι θεωρούνται ισοδύναμοι, όταν είναι εφικτό να παραμορφώσουμε τον έναν σε έναν άλλο, χωρίς να σπάσει ο κόμβος. Οι γεωμετρικές αναλλοίωτες είναι ουσιαστικά μετρήσεις του συνολικού σχήματος ενός κόμβου, ενώ οι αλγεβρικές αναλλοίωτες περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο οι κόμβοι συστρέφονται μεταξύ τους.

«Μέχρι τώρα, δεν υπήρχε αποδεδειγμένη σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο πραγμάτων», δήλωσε ο Ντέιβις, αναφερόμενος στις γεωμετρικές και αλγεβρικές αναλλοίωτες. Αλλά οι μαθηματικοί πίστευαν ότι μπορεί να υπάρχει κάποιου είδους σχέση μεταξύ των δύο, οπότε οι ερευνητές αποφάσισαν να χρησιμοποιήσουν το DeepMind για να τη βρουν.

Με τη βοήθεια του προγράμματος τεχνητής νοημοσύνης, κατάφεραν να εντοπίσουν μια νέα γεωμετρική μέτρηση, την οποία ονόμασαν «φυσική κλίση» ενός κόμβου. Αυτή η μέτρηση σχετιζόταν μαθηματικά με μια γνωστή αλγεβρική αναλλοίωτη που ονομάζεται υπογραφή, η οποία περιγράφει ορισμένες επιφάνειες σε κόμβους.

Η νέα εικασία – ότι αυτοί οι δύο τύποι αναλλοίωτων σχετίζονται μεταξύ τους – θα αποκαλύψει νέα στοιχεία στα μαθηματικά των κόμβων, έγραψαν οι ερευνητές στο άρθρο τους. Στη δεύτερη περίπτωση, η DeepMind χρησιμοποίησε μια μαθηματική εικασία του 1970 και την επιβεβαίωσε.

Εδώ και 40 χρόνια, οι μαθηματικοί εικάζουν ότι είναι δυνατόν να δούμε ένα συγκεκριμένο είδος πολύ σύνθετου, πολυδιάστατου γραφήματος και να βρούμε ένα συγκεκριμένο είδος εξίσωσης για να το αναπαραστήσουμε. Ωστόσο δεν έχουν βρει ακριβώς πώς να το κάνουν αυτό. Η DeepMind έκανε ένα σημαντικό βήμα προς αυτό, συνδέοντας συγκεκριμένα χαρακτηριστικά των γραφημάτων με προβλέψεις για αυτές τις εξισώσεις, οι οποίες ονομάζονται πολυώνυμα Kazhdan-Lusztig (KL).

«Αυτό που καταφέραμε να κάνουμε είναι να εκπαιδεύσουμε κάποια μοντέλα μηχανικής μάθησης που ήταν σε θέση να προβλέψουν με μεγάλη ακρίβεια ποιο ήταν το πολυώνυμο από το γράφημα», δήλωσε ο Ντέιβις. Η ομάδα ανέλυσε επίσης ποια χαρακτηριστικά του γραφήματος χρησιμοποιούσε το DeepMind για να κάνει αυτές τις προβλέψεις, γεγονός που τους έφερε πιο κοντά σε έναν γενικό κανόνα για το πώς τα δύο αντιστοιχούν το ένα στο άλλο. Αυτό σημαίνει ότι η DeepMind σημείωσε σημαντική πρόοδο στην επίλυση αυτής της εικασίας.

Δεν υπάρχουν άμεσες πρακτικές εφαρμογές για αυτές τις εικασίες των «καθαρών» μαθηματικών, αλλά οι ερευνητές σχεδιάζουν να βασιστούν στις νέες ανακαλύψεις για να αποκαλύψουν περισσότερες σχέσεις σε αυτούς τους τομείς. Η ερευνητική ομάδα ελπίζει επίσης ότι οι επιτυχίες τους θα ενθαρρύνουν και άλλους μαθηματικούς να στραφούν στην τεχνητή νοημοσύνη ως νέο εργαλείο.

Με πληροφορίες από Live Science μέσω ertnews.gr Εύη Τσιριγωτάκη